Quantoren & Verneinen
Fast jeder Satz in Mathe sagt „für alle …“ oder „es gibt …“. Das Wichtigste hier: solche Sätze korrekt verneinen. Das brauchst du ständig, z. B. für „f ist nicht injektiv“ oder „R ist nicht transitiv“.
Definition · AussageformDef. 1.9, Folien 1 S. 14
Eine Aussage mit einer Variablen, z. B. a(x): „x² = 4“. Erst durch Einsetzen (a(2)) oder durch einen Quantor wird daraus eine Aussage.Definition · QuantorenDef. 1.10, Folien 1 S. 15
(∀x ∈ M) a(x): „für alle x in M gilt a(x)“ (Allaussage). (∃x ∈ M) a(x): „es gibt (mindestens) ein x in M mit a(x)“ (Existenzaussage).Wie beweise oder widerlege ich das?
| beweisen | widerlegen | |
|---|---|---|
| ∀x a(x) | allgemeines Argument für ein beliebiges x | ein Gegenbeispiel reicht |
| ∃x a(x) | ein Beispiel reicht | allgemeines Argument: kein x klappt |
Verneinen
Definition · Negation von QuantorenFolien 1 S. 16
¬(∀x ∈ M) a(x) ist äquivalent zu (∃x ∈ M) ¬a(x). ¬(∃x ∈ M) a(x) ist äquivalent zu (∀x ∈ M) ¬a(x).Rezept
Das ¬ wandert von links nach rechts durch den Ausdruck. Jeder Quantor, an dem es vorbeikommt, kippt (∀ ↔ ∃). Ganz innen wird die Bedingung verneint: < wird ≥, = wird ≠, „und“ wird „oder“ (De Morgan), a → b wird a ∧ ¬b.Beispiel · zwei Quantoren
Verneine: (∀x ∈ ℕ)(∃y ∈ ℕ) x < y. („Zu jeder Zahl gibt es eine größere.“)
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✏️ Übung · Richtig verneinen
Was ist die Negation von „Alle Übungsblätter sind leicht.“?
✏️ Übung · Mit Formeln
Negation von (∃n ∈ ℕ)(∀m ∈ ℕ) (m ≤ n ∧ n ≠ 5)?
✏️ Übung · Wahr oder falsch?
Hier ist ℕ = {1, 2, 3, …}. Achte auf die Reihenfolge der Quantoren!
| (∀x ∈ ℕ)(∃y ∈ ℕ) y > x | |
| (∃y ∈ ℕ)(∀x ∈ ℕ) y > x | |
| (∃n ∈ ℕ)(∀m ∈ ℕ) n ≤ m | |
| (∃n ∈ ℤ)(∀m ∈ ℤ) n ≤ m | |
| (∀n ∈ ℕ) (n gerade → n² gerade) |
✏️ Übung · Kontraposition anwenden
Du willst zeigen: „Wenn n² ungerade ist, dann ist n ungerade.“ Welche Aussage ist dazu äquivalent und leichter zu beweisen?