Mengen rechnen

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Mengen sind die Datentypen der Mathematik. Hier lernst du rechnen: ∈ vs. ⊆, ∪ ∩ \, Produkte und Potenzmengen.

Definition · MengeDef. 1.1, 1.2, Folien 1 S. 5–6

Eine Zusammenfassung wohlunterschiedener Objekte. Reihenfolge und Wiederholung spielen keine Rolle: {1, 2} = {2, 1} = {1, 1, 2}. A = B heißt: gleiche Elemente. ℕ = {1, 2, 3, …}, ohne 0!

∈ oder ⊆?

Intuition: Kiste mit Dingen

Stell dir eine Menge als Kiste vor. x ∈ M: x liegt (als ein Ding) in der Kiste. X ⊆ M: X ist auch eine Kiste, und alles, was in X liegt, liegt auch in M. Eine Kiste kann selbst in einer Kiste liegen: In M = {1, {2}} liegen genau zwei Dinge, die 1 und die Kiste {2}.

So entscheidest du

Erst die Elemente von M auflisten (die Dinge auf oberster Ebene, durch Kommas getrennt). Dann: Für x ∈ M muss x wörtlich in der Liste stehen. Für X ⊆ M muss jedes Element von X in der Liste stehen. Und ∅ ⊆ M gilt immer (die leere Kiste hat nichts, was fehlen könnte).

✏️ Übung · ∈ vs. ⊆mittel

Sei M = {1, 2, {1, 2}, ∅}. Die Elemente von M sind: 1, 2, {1, 2}, ∅ (also vier Stück).

{1, 2} ∈ M
{1, 2} ⊆ M
{2, {1, 2}} ⊆ M
{∅} ⊆ M
{{1}} ⊆ M
3 ∉ M

Operationen

Definition · ∪, ∩, \, KomplementDef. 1.11, 1.12, Folien 1 S. 17–18

A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}, A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}, A \ B = {x ∈ A : x ∉ B}. Komplement in einer festen Grundmenge M: A = {x ∈ M : x ∉ A}.

Merke

Mengenoperationen sind Logik in Verkleidung: ∪ ist ∨, ∩ ist ∧, Komplement ist ¬. Deshalb gelten dieselben Gesetze (Lektion 4).

Jede Operation als markiertes Gebiet. Eigene Animation der KI zu Def. 1.11 und 1.12.

✏️ Übung · Mengen rechnen (Zufall)leicht

Zufallsaufgaben. Drei richtige in Folge zählen als gelöst. Serie: 0

A = {1, 6, 7}, B = {1, 4, 6, 7}. Berechne A ∪ B.

Kartesisches Produkt

Definition · A × BDef. 1.15, Folien 1 S. 24

{(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}: alle geordneten Paare. Anders als bei Mengen zählt die Reihenfolge: (1, 2) ≠ (2, 1). |A × B| = |A| · |B|.

Warum |A × B| = |A| · |B| gilt. Eigene Animation der KI zu Def. 1.15.

✏️ Übung · Produkt mit Fallemittel

A = {1, 2}, B = {2, 3}. Berechne (A × B) \ (B × A).

Potenzmenge

Definition · ℘(M)Def. 1.12, Folien 1 S. 18

℘(M) = {X : X ⊆ M}: die Menge aller Teilmengen. Hat M n Elemente, hat ℘(M) genau 2ⁿ Elemente (jedes Element ist drin oder nicht).

Teilmengen als Ja/Nein-Entscheidungen. Eigene Animation der KI zu Def. 1.12.

Beispiel · Potenzmenge mit einer Menge als Element

Berechne ℘({x, {x}}).

0 / 5

✏️ Übung · Potenzmengemittel

Berechne ℘({1, {2}}).

✏️ Übung · Verschachteltknifflig

Berechne ℘(℘(∅)).