Aussagen & Wahrheitstafeln
Alles in diesem Kurs wird in der Sprache der Logik aufgeschrieben. Wenn du sicher Wahrheitstafeln ausfüllst und weißt, wann eine Implikation falsch ist, sind viele spätere Beweise nur noch Übersetzungsarbeit.
Aussagen
Definition · AussageDef. 1.3, Folien 1 S. 7
Ein Satz, von dem man im Prinzip eindeutig sagen kann, ob er wahr (1) oder falsch (0) ist.Intuition
Der Test ist: Kann man dem Satz ohne weitere Information einen Wahrheitswert geben? „7 ist gerade“ ja (falsch). „Schließ die Tür!“ nein (Befehl). „x > 3“ nein, weil x unbekannt ist: Das ist eine Aussageform (kommt in Lektion 2).✏️ Übung · Aussage oder nicht?
Ist das eine Aussage? (wahr = ja, es ist eine Aussage)
| „Hamburg hat mehr Einwohner als Bremen.“ | |
| „Wie viele Übungsblätter gibt es?“ | |
| „n ist eine Primzahl.“ | |
| „Jede natürliche Zahl ist größer als 0.“ | |
| „2 + 2 = 5“ |
Junktoren
Aus Aussagen a, b baut man neue. Ihr Wahrheitswert hängt nur von den Werten von a und b ab, deshalb kann man ihn in einer Tabelle festhalten (Def. 1.4, 1.5, Folien 1 S. 8–10):
| a | b | ¬a | a ∧ b | a ∨ b | a → b | a ↔ b | a xor b |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
- ∧ (und): nur wahr, wenn beide wahr sind.
- ∨ (oder): wahr, wenn mindestens eine wahr ist. Das mathematische „oder“ ist nicht exklusiv.
- xor: das exklusive „entweder … oder“: genau eine von beiden.
- ↔: wahr, wenn beide denselben Wert haben.
Die Implikation a → b
Intuition: ein Versprechen
„Wenn du die Klausur bestehst (a), gebe ich einen aus (b).“ Wann habe ich gelogen? Nur wenn du bestehst und ich nichts ausgebe (a = 1, b = 0). Fällst du durch (a = 0), ist das Versprechen nicht gebrochen, egal was ich tue. Deshalb ist a → b in allen anderen Zeilen wahr. Merksatz: Aus Falschem folgt alles.✏️ Übung · Wann ist eine Implikation wahr?
Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
Mehrere Antworten können richtig sein.
Wahrheitstafeln ausfüllen
So gehst du vor
- Variablen zählen. n Variablen ⇒ 2ⁿ Zeilen. Reihenfolge wie in den Folien: 00, 01, 10, 11 (wie Binärzahlen zählen).
- Von innen nach außen. Für jeden Teilausdruck eine Spalte, zuerst die innersten (in Klammern), zuletzt der ganze Ausdruck.
- Pro Spalte nur eine Regel anwenden. Jede Spalte ist ein einzelner Junktor auf zwei Spalten links davon.
Beispiel · ¬(a ∨ b) und ¬a ∧ ¬b
Sind ¬(a ∨ b) und ¬a ∧ ¬b äquivalent? (Zwei Aussagen heißen äquivalent, wenn sie in jeder Zeile denselben Wert haben.)
0 / 5
✏️ Übung · Wahrheitstafel: Kontraposition
Fülle die Tafel aus. Vergleiche danach die Spalten a → b und ¬b → ¬a. Was fällt dir auf?
Klicke in eine Zelle: leer → 1 → 0. Fülle die Spalten von links nach rechts, jede Spalte braucht nur die Spalten davor.
| a | b | a → b | ¬b | ¬a | ¬b → ¬a | a → b ↔ ¬b → ¬a |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | |||||
| 0 | 1 | |||||
| 1 | 0 | |||||
| 1 | 1 |
✏️ Übung · Wahrheitstafel mit drei Variablen
Zeige mit der Tafel, dass die Formel eine Tautologie ist (in jeder Zeile wahr). Die erste Spalte ist schon vorgegeben.
Klicke in eine Zelle: leer → 1 → 0. Fülle die Spalten von links nach rechts, jede Spalte braucht nur die Spalten davor.
| a | b | c | a → b | b → c | (a → b) ∧ (b → c) | a → c | (a → b) ∧ (b → c) → a → c |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | |||||
| 0 | 0 | 1 | |||||
| 0 | 1 | 0 | |||||
| 0 | 1 | 1 | |||||
| 1 | 0 | 0 | |||||
| 1 | 0 | 1 | |||||
| 1 | 1 | 0 | |||||
| 1 | 1 | 1 |
✏️ Übung · Schnell auswerten
a = 1, b = 0, c = 1. Welchen Wert hat a ∨ b ∧ c?
richtig: 0 (5 zum Lösen)
Typischer Fehler
∧ bindet stärker als ∨ (wie · vor +): a ∨ b ∧ c heißt a ∨ (b ∧ c).