Abbildungen

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Injektiv, surjektiv, bijektiv: drei Wörter, die in jeder Klausur vorkommen. Erst baust du ein Gefühl dafür mit Pfeildiagrammen, dann lernst du die zwei Beweisschablonen für Formeln wie n ↦ 3n + 1.

Definition · Abbildung f : A → BDef. 1.16, Folien 1 S. 25

Ordnet jedem a ∈ A genau ein f(a) ∈ B zu. A heißt Definitionsbereich, B Wertevorrat. Das Bild ist {f(x) : x ∈ A}.

Definition · injektiv, surjektiv, bijektivDef. 1.18, Folien 2 S. 6

injektiv: x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y) (verschiedene Eingaben, verschiedene Werte). surjektiv: zu jedem b ∈ B gibt es ein a mit f(a) = b (alles in B wird getroffen). bijektiv: beides.

Im Pfeildiagramm

Funktion	aus jedem Punkt links geht genau ein Pfeil
injektiv	in jeden Punkt rechts kommt höchstens ein Pfeil
surjektiv	in jeden Punkt rechts kommt mindestens ein Pfeil

Wie man Kollisionen und nicht getroffene Elemente erkennt. Eigene Animation der KI zu Def. 1.18.

✏️ Übung · Ausprobierenleicht

Spiel mit dem Diagramm und beobachte die Anzeige. Mache daraus eine bijektive Funktion.

Erst links ein Element anklicken, dann rechts das Ziel.

✗ Funktion

3 hat keinen Pfeil.

✗ injektiv

Erst muss es eine Funktion sein.

✗ surjektiv

Erst muss es eine Funktion sein.

✏️ Übung · Surjektiv, aber nicht injektivleicht

Baue eine Funktion A → B, die surjektiv, aber nicht injektiv ist.

Erst links ein Element anklicken, dann rechts das Ziel.

✗ Funktion

1, 2, 3, 4 haben keinen Pfeil.

✗ injektiv

Erst muss es eine Funktion sein.

✗ surjektiv

Erst muss es eine Funktion sein.

✏️ Übung · Geht das überhaupt?mittel

Baue eine surjektive Funktion A → B. Wenn das unmöglich ist, drücke „Geht nicht!“.

Erst links ein Element anklicken, dann rechts das Ziel.

✗ Funktion

1, 2, 3 haben keinen Pfeil.

✗ injektiv

Erst muss es eine Funktion sein.

✗ surjektiv

Erst muss es eine Funktion sein.

Beweise für Formeln

Schablone injektiv

„Seien x, y ∈ A mit f(x) = f(y).“ Dann umformen, bis „x = y“ dasteht. (Das ist die Kontraposition von „x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y)“ und meist viel leichter.) Nicht injektiv: zwei konkrete x ≠ y mit f(x) = f(y) angeben.

Schablone surjektiv

„Sei b ∈ B beliebig.“ Dann die Gleichung f(a) = b auf einem Schmierzettel nach a auflösen, prüfen, dass a ∈ A liegt (ganzzahlig? natürlich?), und hinschreiben: „Setze a := …, dann f(a) = … = b.“ Nicht surjektiv: ein konkretes b angeben, das nie herauskommt, mit Grund.

Beispiel · f : ℤ → ℤ, n ↦ 3n + 1

Ist f injektiv? Surjektiv?

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✏️ Übung · Klassifizierenmittel

Wahr oder falsch? Überlege für jede Aussage, welches Gegenbeispiel oder Argument du hinschreiben würdest.

f : ℤ → ℤ, n ↦ n + 5 ist surjektiv.
f : ℕ → ℕ, n ↦ n + 5 ist surjektiv.
f : ℤ → ℤ, n ↦ \|n\| ist injektiv.
f : ℕ → ℕ, n ↦ n² ist injektiv.
f : ℤ → ℤ × ℤ, n ↦ (n, n) ist surjektiv.
f : ℤ × ℤ → ℤ, (m, n) ↦ m − n ist surjektiv.

✏️ Übung · Surjektivitätsbeweis bauenmittel

Zu zeigen: f : ℤ → ℤ, n ↦ 7 − n ist surjektiv.

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